Warning: session_start() [function.session-start]: open(/home/content/00/6271800/tmp/sess_mfumb1rj86ee98krnl8k1biov2, O_RDWR) failed: No such file or directory (2) in /home/content/00/6271800/html/wp-content/plugins/wsi/wp-splash-image.php on line 142
» Números realistas o discretos Cognomatica

Números realistas o discretos

19-octubre-2012 § § sin comentarios


REALISMO. Hiperrealismo fotográfico en escultura

Por ÁNGEL ALONSO ÁLVAREZ (ÁAÁ)1

> Cédula del artículo. Revista Cogno

RESUMEN. Los números «realistas» constituyen el sustituto natural de los llamados, inconsistentemente, números «reales». Los números «realistas» son números «discretos», orientados y pensados para representar sistemas «discretos».

PALABRAS CLAVE. Números, realistas, reales, discretos, valor, rango, dimensión, fiabilidad.

INTRODUCCIÓN. Los números «realistas» permiten representar la dispersión de características de un elemento o sistema, la borrosidad, la probabilidad y la fiabilidad, es decir, relaciones escaladas entre variables.

METODOLOGÍA. Los números «realistas» se construyen a partir de las particularidad acotadas de los números enteros.

RESULTADOS. Los números «realistas» tiene gran capacidad expresiva, administran atributos como valor, rango, dimensión y fiabilidad y son, por tanto, de portentosa utilidad práctica.

DISCUSIÓN.  Los números «reales» están asociados a la matemática continua y umbilicalmente unidos a atributos exagerados y extraños a la ciencia como «poder absoluto», «exactitud» o «perfección». Los números «realistas» son el reemplazo natural de los “irreales” números «reales».

DIVULGACIÓN. El presente artículo está incorporado al libro Idolatría en las matemáticas, descargable aquí, del mismo autor.

> Alternativa a los números reales

LOS NÚMEROS realistas se formulan como alternativa a los denominados números reales. Son números discretos, con propiedades discretas y pensados para representar sistemas discretos. Los números realistas permiten representar la dispersión de características de un elemento o sistema, la borrosidad, la probabilidad y la fiabilidad, es decir, relaciones escalonadas entre variables. No precisan, además, realizar aproximaciones cuando se hacen los cálculos.

> Construcción y definición

LOS NÚMEROS enteros, para la Cognomática, constituyen un conjunto acotado (particularidad) y los números realistas se construyen a partir de dichos números. La definición se despliega paulatinamente y la definición completa se obtiene al final del capítulo. Ejemplos de números realistas son los siguientes:

(5, 6, 7, 8, 9) (12, 13, 14, 15) (24; 36)

Son números que pueden tener muchas aplicaciones. Si se desea especificar, por ejemplo, cuántas naranjas entran en un kilogramo, podrá expresarse mediante un número realista. Un ejemplo posible es el siguiente:

(3, 4, 5, 6) naranjas/Kg

En general y de forma simbólica, un número realista puede representarse como sigue:

(n, n+1, n+2, …, n+q) = (n; n+q) = amb
siendo n = m-a; n+q = m+b

Se define el rango de un número realista como la cantidad de valores que contiene. En la formulación anterior el rango se expresa como sigue:

Rango = q+1 = a+b+1

1. Ponderación o probabilidad

• Los ‘números realistas’ incluyen, cuando es necesario, un valor de ‘ponderación’ o probabilidadSe puede dotar a los números realistas de un valor de ponderación o probabilidad. Este valor sirve para indicar el peso o la probabilidad de cada uno de los valores del número realista. Este valor se puede indicar como subíndice de cada número o bien correlativamente entre corchetes al final del número. Ejemplos:

(51, 66, 78, 82) = (5; 8 [1,6,8,2]) = (271 [1,6,8,2])
(11, 12, 13, 14, 15 [2,3,7,8,1]) =
(11; 15 [2,3,7,8,1]) = (2132 [2,3,7,8,1])

Volviendo al ejemplo de las naranjas, ahora es posible indicar cuál es la probabilidad de que el número de naranjas que entran en un kilo sea uno u otro. Los datos del ejemplo que se muestran a continuación indican que de cada 20 veces que se pese un kilo de naranjas, en una ocasión entrarán 3 naranjas, en ocho entrarán 4, en otras 8 entrarán 5 y en 3 ocasiones entrarán 6 naranjas.

(3, 4, 5, 6 [1,8,8,3]) naranjas/Kg

Se está desarrollando una sintaxis específica para facilitar la expresión simplificada de los valores de ponderación en aquellos casos que sea posible.

En general, y de forma simbólica, un número realista con la ponderación, puede representarse como sigue:

(n, n+1, n+2,…, n+q [a1, a2,…,aq+1]) =
(n; n+q [a1, a2…, aq+1]) = (amb [a1, a2,…, aq+1])

Se define la dimensión de un número realista como la suma de todos los valores de ponderación. En la formulación anterior la dimensión se expresa como sigue:

Dimensión = a1 + a2 +…+ aq+1

2. Fiabilidad

• Los ‘números realistas’ también aceptan la posibilidad de indicar la ‘fiabilidad’ de una muestraLos números realistas también aceptan la posibilidad de indicar la fiabilidad de una muestra. La fiabilidad se deduce comparando el tamaño de la muestra y el tamaño del colectivo en el que se ha tomado la muestra. El tamaño de la muestra queda indicado por la dimensión del número. El tamaño del colectivo, si se desea, por ejemplo, puede expresarse:

(3, 4, 5, 6 [1,9,8,2] |100) = (3; 6 [1,9,8,2] |100) =
(251[1,9,8,2] |100) naranjas/Kg

El número anterior indica que la información de probabilidad que se ofrece se ha obtenido comprobando, de cada 100 kg de naranjas, veinte. Ambos datos permiten deducir la fiabilidad de la información ofrecida. En general el tamaño del colectivo muestreado puede indicarse como sigue:

(271[1,6,8,2] |T)

‘T’ representa el tamaño total del colectivo existente o estimado y al que pertenece la muestra usada. Llamamos ‘M’ al valor de la muestra tomada. En este caso M = 17. La representación de ‘T’ admite varias situaciones:

  • Que se conozca el valor de ‘T’, en cuyo caso puede expresarse: a) mediante un número; b) mediante el signo = , significando que M = T; c) mediante un número precedido por el signo ×, significando que ‘T’ es igual a ‘M’ multiplicado por el número expresado.
  • Que no se conozca el valor de ‘T’, en cuyo caso puede expresarse: a) mediante un número precedido por el signo ‘>’, significando que ‘T’ es mayor que el número expresado; b) mediante el signo ‘>’. En este caso se considera que T > M.
  • La relación entre ‘M’ y ‘T’ determina el grado de fiabilidad de la muestra usada. En el caso particular de que ‘M’ sea igual a ‘T’, la fiabilidad es la máxima posible.

Supongamos que se desea representar, por ejemplo, la tolerancia en la longitud de un determinado tipo de tornillos. Para ello puede expresarse la longitud con el siguiente número realista:

Longitud del tornillo =
(38; 42[4, 20, 600, 24, 3] |×1000) mm

La expresión anterior indica que de cada 651 tornillos hay 4 que miden 38 mm, 20 que miden 39 mm, 600 que miden 40 mm, 24 que miden 41 mm y 3 que miden 42 mm. Se indica, además, que la muestra se ha obtenido comprobando un tornillo de cada mil que se han fabricado, dato que indica la fiabilidad de la muestra.

3. La definición

• Un ‘número realista’ es una expresión simbólica que en su forma básica contiene ‘N’ elementos separados por una comaUn número realista es una expresión simbólica que en su forma básica contiene ‘N’ elementos separados por una coma. El conjunto se delimita por dos paréntesis. Cada elemento está formado por dos números, uno principal y otro secundario. El número principal es entero. El secundario es natural y se expresa como subíndice del principal. Los valores de los números principales son correlativamente crecientes. La expresión general es la siguiente:

(na1, n+1a2, n+2a3, …, n+qap)

Que admite las siguientes expresiones simplificadas:

(n, n+1, n+2,…, n+q [a1, a2,…, aq+1]) =
(n; n+q [a1, a2…, aq+1]) =
(amb [a1, a2..., aq+1])

La expresión simbólica completa admite la posibilidad de introducir información relativa a la fiabilidad de la probabilidad añadiendo un elemento final precedido por el separador “|”. La expresión completa de un número realista es la siguiente:

(na1, n+1a2, n+2a3…, n+qap |T)

La sintaxis relativa al símbolo ‘T’ ya ha sido descrita anteriormente.

4. Parámetros de un número realista

• Cada número realista lleva asociados cuatro parámetros, el valor, el rango, la dimensión y la fiabilidadCada número realista lleva asociados cuatro parámetros, que son:

El valor: que por defecto se considera el menor valor de los números principales
El rango: es igual a la cantidad de elementos que forman el número
La dimensión: es igual a la suma de las ponderaciones
La fiabilidad: viene definida por el contenido del símbolo ‘T’, si está especificado.

Los números realistas, por disponer de cuatro parámetros, poseen una gran capacidad expresiva. Permiten representar situaciones reales muy complejas y operar con ellas.

> DOS NÚMEROS. Las operaciones

EL SÍMBOLO ‘T’ queda al margen de las operaciones entre números realistas. Por tanto las operaciones se centran en los elementos y, dado que cada elemento consta de dos números (el principal y el secundario), existen dos tipos de operaciones.

Unas operan sobre el valor principal y las otras sobre el secundario. A las primeras se las denominará, de forma genérica, operaciones principales y operaciones secundarias a las otras.

Por razones didácticas se analizarán las distintas operaciones de forma progresiva, dejando para el final una definición generalizada.

1. Suma y resta secundarias

• La ‘suma y la resta secundarias’ mantienen el valor del número principalLa suma y la resta secundarias mantienen el valor del número principal y suman o restan los valores de los números secundarios. Ejemplos:

(51, 66, 78, 82) + ↓ (63, 72, 84, 92) =
(51, 69, 710, 86, 92)
(74, 86, 98, 109, 115) -↓ (73, 82, 92) =
(71, 84, 97, 109, 115)

La suma y la resta secundarias son operaciones inversas. Con estas operaciones se puede modificar tanto el rango como la ponderación (dimensión), sin afectar al valor.

2. Suma y resta principales, uno a uno

Este tipo de operaciones se dan cuando los números que se suman o restan tienen cada uno un único elemento. Cuando un número realista tiene un único elemento, el valor de ponderación se considera la unidad, ya que la ponderación o probabilidad tiene carácter relativo. Ejemplos:

(5) ⊕ (7) = (5+7) = (12)
(34) ⊕ (12) = (34+12) = (46)
(12) Θ (7) = (12-7) = (5)
(12) Θ (7) = (12-7) = (5)

La suma y la resta principales, uno a uno, son operaciones inversas. Estas operaciones sólo alteran el valor del número, sin afectar al rango y la ponderación.

3. Suma y resta principales, uno a varios

Este tipo de operaciones se dan cuando el primer número tiene varios elementos y el segundo un único elemento.

El resultado se obtiene realizando una suma o resta, uno a uno, del elemento unitario sobre cada elemento del otro número. Ejemplos:

(5, 6, 7) ⊕ (7) = (5+7, 6+7, 7+7) = (12, 13, 14)
(63, 72, 84, 92) ⊕ (8) = (143, 152, 164, 172)
(113, 122, 134) ⊕ (12) = (233, 242, 254)
(63, 72, 84, 92) Θ (4) = (23, 32, 44, 52)
(113, 122, 134) Θ (3) = (83, 92, 104)

La suma y la resta principales uno a varios, son operaciones inversas. Estas operaciones sólo alteran el valor del número, sin afectar al rango ni a la dimensión (ponderación).

4. Multiplicación principal, uno a uno

• La ‘multiplicación’ se define como la suma repetida del multiplicando, tantas veces como valor tenga el multiplicador, más un ‘número realista’ inicialLa multiplicación principal, uno a uno, tiene lugar cuando el multiplicando y el multiplicador son números de un solo elemento. La multiplicación se define como la suma repetida del multiplicando, tantas veces como valor tenga el multiplicador, más un número realista inicial que debe cumplir la condición de que “el módulo del valor principal de cualquiera de sus elementos ha de ser menor que el valor del multiplicando”. Ejemplos:

(3) ⊗ (5) = (0, 1, 2) ⊕ (3 × 5) = (15, 16, 17)
(3) ⊗ (5) = (2) ⊕ (3 × 5) = (17)
(3) ⊗ (5) = (0) ⊕ (3 × 5) = (15)
(5) ⊗ (3) = (0, 1, 2, 3, 4) ⊕ (5 × 3) =
(15, 16, 17, 18, 19)

El resultado de la multiplicación es un número realista cuyo rango puede ir desde uno hasta dos veces el valor del multiplicando menos uno. La inclusión de un número realista como sumando inicial en la multiplicación tiene como objetivo establecer, mediante la multiplicación, una relación entre dos valores enteros cualesquiera. De la definición hecha para la multiplicación se deduce que el número realista inicial no es único, salvo cuando el multiplicando valga uno. Por lo tanto la multiplicación entre dos números realistas de elemento único, para un multiplicando superior a uno, tiene varias soluciones. Ejemplo:

(2) ⊗ (3) = (-1) ⊕ (2 × 3) = (5)
(2) ⊗ (3) = (0) ⊕ (2 × 3) = (6)
(2) ⊗ (3) = (1) ⊕ (2 × 3) = (7)
(2) ⊗ (3) = (-1, 0) ⊕ (2 × 3) = (5, 6)
(2) ⊗ (3) = (0, 1) ⊕ (2 × 3) = (6, 7)
(2) ⊗ (3) = (-1, 0, 1) ⊕ (2 × 3) = (5, 6, 7)

Dependiendo de la aplicación que se haga de la multiplicación, puede interesar una solución u otra. Pero también es posible que interese combinar varias soluciones. Posteriormente, se mostrará el interés de combinar varias soluciones en la representación de líneas geométricas en el plano. Para combinar varias soluciones basta con realizar una suma secundaria de varios números realistas iniciales. Ejemplo:

(2) ⊗ (3) = ( (-1, 0) +↓ (0, 1) ) ⊕ (2 × 3) =
(-1, 02 , 1) ⊕ (6) = (5, 62 , 7)

Con esta operación se pueden incrementar el rango, el valor y la dimensión.

5. División principal, uno a uno

• La ‘división principal’, uno a uno, tiene lugar cuando el dividendo y el divisor son números de un solo elementoLa división principal, uno a uno, tiene lugar cuando el dividendo y el divisor son números de un solo elemento. Es una operación inversa a la multiplicación principal, uno a uno. La división se define mediante el siguiente procedimiento:

  1. Se resta el divisor del dividendo.
  2. Si el resultado de la resta es igual a cero, se pasa al punto 7 (Solución única).
  3. Si el resultado de la resta es igual o superior al valor principal del divisor, se vuelve al punto uno. En caso contrario se sigue.
  4. Si el resultado de la resta es inferior a cero, se pasa al punto 6.
  5. Si el resultado de la resta es inferior al valor principal del divisor y superior a cero, se pueden hacer dos cosas: a) Pasar al punto 6 (Primera solución); b) Volver al punto 1 (Segunda solución).
  6. Al resultado obtenido en el punto 1 se le resta el mismo valor.
  7. El resultado de la división coincide con el número de veces que se ha ejecutado el punto 1.

Conviene resaltar que la división se realiza mediante un procedimiento inverso a la multiplicación. En la multiplicación, primero se suma un número inicial y después se realiza la suma repetida. En la división, primero se hace la resta repetida y después se resta el valor inicial. En esta división puede haber una o dos soluciones. Ejemplos:

(7) (÷) (3) = (2)
(7) (÷) (3) = (3)
(12) (÷) (3) = (4)
(37) (÷) (5) = (8)
(37) (÷) (5) = (7)

Con esta operación se puede reducir el valor.

6. Multiplicación principal, uno a varios

• La ‘multiplicación principal, uno a varios’, tiene lugar cuando el multiplicando tiene un solo elemento y el multiplicador tiene variosLa multiplicación principal, uno a varios, tiene lugar cuando el multiplicando tiene un solo elemento y el multiplicador tiene varios. El resultado se obtiene realizando una multiplicación principal uno a uno y después haciendo una suma secundaria sobre los resultados anteriores. Ejemplos:

(2) ⊗ (3, 4) = ((0, 1) ⊕ (2 × 3)) +↓ ((0, 1) ⊕ (2 × 4)) = (6, 7, 8, 9)
(2) ⊗ (3, 4) = ((-1, 0) ⊕ (2 × 3)) +↓ ((-1, 0) ⊕ (2 × 4)) = (5, 6, 7, 8)
(4) ⊗ (6, 7, 8) = ((0, 1, 2, 3) ⊕ (4 × 6)) +↓
((0, 1, 2, 3) ⊕ (4 × 7)) +↓ ((0, 1, 2, 3) ⊕ (4 x 8)) =
(24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35) = (24; 25) = (2411)

Con esta operación se pueden incrementar el rango, el valor y la dimensión.

7. División principal, uno a varios

La división principal, uno a varios tiene lugar cuando el divisor posee un solo elemento y el dividendo tiene varios. El resultado se obtiene realizando una división principal uno a uno y después haciendo una suma secundaria sobre los resultados anteriores. Ejemplos:

(5, 6) (÷) (2) = ((5) (÷) (2)) +↓ ((6) (÷) (2))= (2) +↓ (3) = (2, 3)
(5, 6) (÷) (2) = ((5) (÷) (2)) +↓ ((6) (÷) (2)) = (3) +↓ (3) = (3)

Con esta operación se puede reducir el rango, el valor y la dimensión.

> CON VARIOS ELEMENTOS. Operaciones totales y parciales

CUANDO ambos • Las ‘operaciones’ totales son más útiles cuando se dispone de poca información sobre los ‘elementos’ representados por los númerosoperandos tienen más de un elemento, las operaciones adquieren mayor complejidad operativa. En este caso se definen dos tipos de operaciones:

  1. Operaciones totales. Son aquellas en las que cada elemento de un operando opera con todos los elementos del otro operando.
  2. Operaciones parciales. Son aquellas en las que cada elemento de un operando sólo opera con un elemento del otro operando.

En la práctica, las operaciones totales serán más útiles cuando se disponga de poca información sobre los elementos representados por los números. Cuando se disponga de más información, podrán usarse las operaciones parciales, que tienen menor complejidad operativa.

1. Suma principal total, varios a varios

El resultado de esta suma se obtiene realizando tantas sumas, uno a varios, como elementos tenga el segundo sumando y, posteriormente, haciendo una suma secundaria sobre todos los resultados obtenidos. Ejemplos:

(6, 7, 8) ⊕ (3, 4) = ((6, 7, 8) ⊕ (3)) +↓
((6, 7, 8) ⊕ (4)) = (9, 10, 11) +↓ (10, 11, 12) = (9, 102, 112, 12)
(1, 2) ⊕ (4, 5, 6) = ((1, 2) ⊕ (4)) +↓ ((1, 2) ⊕
(5)) +↓ ((1, 2) ⊕ (6)) = (5, 6) +↓ (6, 7) +↓ (7, 8) = (5, 62, 72, 8)

Con esta operación se pueden incrementar el rango, el valor y la dimensión.

2. Resta principal total, varios a varios

El resultado de esta resta se obtiene realizando tantas restas, uno a varios, como elementos tenga el sustraendo y posteriormente haciendo una suma secundaria sobre todos los resultados obtenidos. Ejemplos:

6, 7, 8) Θ (3, 4) = ((6, 7, 8) Θ (3)) +↓
((6, 7, 8) Θ (4)) = (3, 4, 5) +↓ (2, 3, 4) = (2, 32, 42, 5)
(8, 9) Θ (4, 5, 6) = ((8, 9) Θ (4)) +↓
((8, 9) Θ (5)) +↓ ((8, 9) Θ (6)) =
(4, 5) +↓ (3, 4+↓ (2, 3) (2, 32, 42, 5)

Con esta operación se pueden incrementar el rango y la dimensión, y disminuir el valor.

3. Suma principal parcial, varios a varios

• Todas las operaciones parciales exigen que el primer operando esté descompuestoTodas las operaciones parciales exigen que el primer operando esté descompuesto, en tantos números realistas como elementos contenga el segundo operando. La operación de descomposición de un número realista en varios números realistas se realiza mediante la suma o resta secundarias. Una vez realizada la citada descomposición, se hace la correspondiente operación, uno a varios, de cada elemento del segundo operando sobre cada número realista del primer operando. Ejemplo:

(6, 7, 8)〈+〉(3, 4) = ((6, 7) +↓ (8))〈+〉(3, 4) =
((6, 7) ⊕ (3)) +↓ ((8) ⊕ (4)) = (9, 10) +↓ (12) = (9, 10, 110, 12)
(6, 7, 8)〈+〉(3, 4) = ((6) +↓ (7, 8))〈+〉(3, 4) =
(6) ⊕ (3)) +↓ ((7, 8) ⊕ (4)) = (9) +↓ (11, 12) = (9, 100, 11, 12)

Con esta operación se pueden incrementar el rango y el valor, sin modificar la dimensión.

4. Resta principal parcial, varios a varios

Se realiza de forma similar a como se hizo la suma. Ejemplo:

(6, 7, 8)〈-〉(3, 4) = ((6, 7) +↓ (8))〈-〉(3, 4) =
((6, 7) Θ (3)) +↓ ((8) Θ (4)) = (3, 4) +↓ (4) = (3, 42)
(6, 7, 8)〈-〉(3, 4) = ((6) +↓ (7, 8))〈-〉(3, 4) =
((6) Θ (3)) +↓ ((7, 8) Θ (4)) = (3) +↓ (3, 4) = (32, 4)

Obsérvese que tanto la resta como la suma parciales admiten más de una solución. Estas soluciones dependen de cómo se haga la descomposición del primer operando. Con esta operación se pueden reducir el valor y el rango, sin modificar la dimensión.

5. Suma y resta inversas

• Todas las operaciones de ‘suma y resta’ desembocan en una suma secundaria de ‘números realistas’Existe la posibilidad de invertir el resultado tanto de las sumas como de las restas, pero es preciso tomar algunas precauciones. Todas las operaciones de suma y resta desembocan en una suma secundaria de números realistas, que si se ejecuta, genera un único número realista. Para facilitar las operaciones inversas en la suma y la resta, es conveniente no realizar la última suma secundaria. De esta forma se dan las siguientes relaciones de operaciones inversas:

〈-〉 es inversa de ⊕
〈+〉 es inversa de Θ
〈-〉 es inversa de〈+〉
〈+〉 es inversa de〈-〉

Con la condición impuesta anteriormente, sucede que la suma y la resta parciales tienen una sola solución. Si se realiza la operación secundaria citada, la suma y la resta parciales tienen varias soluciones y por lo tanto las relaciones inversas anteriores sólo se dan para una de las soluciones pero no para todas.

6. Multiplicación principal total, varios a varios

• La multiplicación total, varios a varios, permite incrementar el ‘rango’, el ‘valor’ y la ‘dimensión’El resultado de esta multiplicación se obtiene realizando tantas multiplicaciones uno a varios como elementos tenga el multiplicando y posteriormente haciendo una suma secundaria sobre todos los resultados obtenidos. Ejemplo:

(2, 3) ⊗ (3, 4) = ((2) ⊗ (3, 4)) +↓ ((3) ⊗ (3, 4)) =
((0, 1) ⊕ (2 × 3)) +↓ ((0, 1) ⊕ (2 × 4)) +↓ ((0, 1, 2)
⊕ (3 × 3)) +↓ ((0, 1, 2) ⊕ (3 × 4)) =
(6, 7) +↓ (8, 9) +↓ (9, 10, 11) +↓ (12, 13, 14) =
(6, 7, 8, 92, 10, 11, 12, 13, 14)

Con esta operación se pueden incrementar el rango, el valor y la dimensión.

7. División principal total, varios a varios

El resultado de esta división se obtiene realizando tantas divisiones uno a varios como elementos tenga el divisor y posteriormente haciendo una suma secundaria sobre todos los resultados obtenidos. Ejemplos:

(5, 6) (÷) (2, 3) = ((5, 6) (÷) (2)) +↓ ((5, 6)
(÷) (3)) = ( ((5) (÷) (2)) +↓ ((6) (÷) (2)))+↓ (((5) (÷)
(3)) +↓ ((6) (÷) (3)) ) = (2, 3) +↓ (1, 2) = (1, 22, 3)
(5, 6) (÷) (2, 3) = ((5, 6) (÷) (2)) +↓ ((5, 6) (÷)
(3)) = ( ((5) (÷) (2)) +↓ ((6) (÷) (2)) ) +↓ ( ((5) (÷) (3)) +↓
((6) (÷) (3)) ) = (3, 3) +↓ (2, 2) = (2, 3)

Con esta operación se puede reducir el valor e incrementar el rango y la dimensión.

8. Multiplicación principal parcial, varios a varios

Al ser una operación parcial, primero se descompone el multiplicador en una cantidad de números realistas igual al rango del multiplicando. Una vez realizada la citada descomposición, se hace la correspondiente operación, uno a varios, de cada elemento del multiplicando sobre cada número realista del multiplicador. Con esta operación se pueden incrementar el rango, el valor y la dimensión. Ejemplo:

(3, 4)〈×〉(7, 8) = (3, 4)〈×〉( (7) +↓ (8) ) =
((3) ⊗ (7)) +↓ ((4) ⊗ (8)) =
((0, 1, 2) +↓ (3×7)) +↓ ((0, 1, 2, 3) +↓ (4×8)) =
(21, 22, 23) +↓ (32, 33, 34, 35)

9. División principal parcial, varios a varios

• Al ser una operación parcial (la multiplicación principal parcial), primero se descompone el multiplicador en una cantidad de ‘números realistas’ igual al rango del multiplicandoAl ser una operación parcial, primero se descompone el dividendo en una cantidad de números realistas igual al rango del divisor.

Una vez realizada la citada descomposición, se hace la correspondiente operación, uno a varios, de cada elemento del divisor sobre cada número realista del dividendo. Ejemplo:

(5, 6)〈÷〉(2, 3) = ((5) +↓ (6))〈÷〉(2, 3) =
((5) (÷) (2)) +↓ ((6) (÷) (3)) = (2) +↓ (2) = (2) (5, 6)〈÷〉(2, 3) =
((5) +↓ (6))〈÷〉(2, 3) = ((5) (÷) (2)) +↓ ((6) (÷) (3)) =
(3) +↓ (2) = (2, 3)

Con esta operación se pueden reducir el valor, el rango y la dimensión.

10. Multiplicación y división inversas

Es posible invertir, al igual que en el caso de la suma y la resta, el resultado de la multiplicación y la división. Además de las precauciones descritas para el caso de la suma y de la resta, es preciso tener en cuenta que la multiplicación y la división admiten una mayor variedad de soluciones.

Para que la inversión de operaciones sea correcta, es preciso mantener el mismo criterio en la operación directa que en la inversa.

En caso contrario, la operación no será invertible. Es posible, por tanto, establecer, a tenor de lo expuesto, la siguiente relación de operaciones inversas:

〈÷〉es inversa de ⊗
〈×〉es inversa de (÷)
〈÷〉es inversa de〈×〉
〈×〉es inversa de〈÷〉

11. Conclusiones sobre las operaciones básicas

• La expresividad, tanto de los ‘números realistas’ como de las operaciones que los relacionan, es altaUna vez definidas las operaciones básicas sobre los números realistas, se obtienen las siguientes conclusiones:

  1. Hay operaciones sencillas que permiten representar situaciones reales sencillas.
  2. La complejidad de las operaciones crece cuando se desea representar situaciones reales complejas.
  3. La expresividad, tanto de los números realistas como de las operaciones que los relacionan, es alta.
  4. Dependiendo del tipo de parámetro que se desee modificar y cómo se desee modificar, debe elegirse una operación u otra.

12. Las potencias

Cuando un número se multiplica por sí mismo una o más veces surge el concepto de potencia. Ejemplos de potencias son los siguientes:

(3)2, (6)3, (X)2, (23)4, (X)3

• La ‘potencia’ representa un tipo de multiplicación en la que el multiplicando y el multiplicador son igualesLa potencia representa un tipo de multiplicación en la que el multiplicando y el multiplicador son iguales. Cuando cambia uno también cambia el otro, característica que afecta al modo en que se debe operar con las potencias. Igual que en el caso de la multiplicación, las potencias admiten varias soluciones que se determinan a partir de un número realista inicial. Ese número se elige de forma que el resultado debe estar comprendido entre la potencia base inferior y la superior. Ejemplos:

(3)2 = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) ⊕ (3 × 3) = (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
(3)2 = (-4, -3, -2, -1, 0) ⊕ (3 × 3) = (5, 6, 7, 8, 9)
(3)2 = (0) ⊕ (3 × 3) = (9)
(3)2 = (-2, -1, 0, 1, 2, 3) ⊕ (3 × 3) = (7, 8, 9, 10, 11, 12)

Son algunas de las soluciones posibles. En cada caso el usuario escogerá la que más le convenga.

> Bibliografía

1. R. Rucker, Infinity and the Mind (Princeton University Pres, 1982).
2. K. Popper, J.C. EcclesThe Self and its Brain: an argument for Interactionism (Springer-Verlag, Berlin, 1977).
3. G. Frege, The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Number (Northwestern University Press, 1996).
4. R. DescartesMeditations on First Philosophy. In which the existence of God and the immortality of the soul are demonstrated (1641).
5. Platón, The Republic (around 360 B.C.).
6. Group of Cognomatics at University of LeonSpainCognomatica (http://www.cognomatica.org).
7. B. Rich, C. ThomasSchaum’s outlines: Geometry (Mc Graw-Hill, ed. 4, 2009).
8. K. DevlinThe Language of Mathematics. Making the Invisible Visible (W. H. Freeman and Company, New York, 2000).
9. I. N. Bronshtein et al.Handbook of Mathematics (Springer, 2007).
10. H. H. HartzlerThe Meaning of Mathematics (Journal of the American Scientific Affiliation 1, 13-19 (1949).
11. A. DeañoIntroducción a la lógica formal (Alianza Editorial S.A., Madrid, 1999).
12. William ByersHow Mathematicians Think (Princeton University Press, 2007).

  1. ÁAÁ. Ángel Alonso Álvarez, catedrático de la Universidad de León, Ingeniería de Control y Sistemas, Escuela de Ingenierías. Es autor de ‘Idolatría en la Matemáticas‘ y mentor de un nuevo dominio, la Cognomática, e impulsor de las estrategias ‘c:c’.

Etiquetado , , ,

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

¿Qué es esto?

Estás leyendo Números realistas o discretos en Cognomatica.

meta


Warning: Unknown: open(/home/content/00/6271800/tmp/sess_mfumb1rj86ee98krnl8k1biov2, O_RDWR) failed: No such file or directory (2) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct () in Unknown on line 0