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Geometría discreta

20-octubre-2012 § § sin comentarios


Observando

Por ÁNGEL ALONSO ÁLVAREZ (ÁAÁ)1

> Cédula del artículo. Revista Cogno

RESUMEN. Se validan los números «realistas» demostrando su eficacia para representar figuras geométricas, cuando el plano, cualquier plano, está constituido por un conjunto de elementos discretos. Los únicos existentes, desde el punto de vista de la Cognomática.

PALABRAS CLAVE. Geometría, discreta, plano, número, realista, aliasing, pantalla.

INTRODUCCIÓN. La Geometría discreta se corresponde con una sucesión de una serie de elementos, también discretos, que se representan mediante números «realistas», utilizando la herramienta básica para la representación de figuras geométricas, la pantalla electrónica.

METODOLOGÍA. Los números «realistas» se construyen a partir de las particularidad acotadas de los números enteros y se aplican a la resolución de un problema práctico para validar su utilidad: el aliasing.

RESULTADOS. Los números «realistas» tiene gran capacidad expresiva, administran atributos como valor, rango, dimensión y fiabilidad y son, por tanto, de portentosa utilidad práctica.

DISCUSIÓN. Mientras en la geometría convencional los números representan puntos sin dimensión, insólito, en la «geometría discreta» los números representan a los elementos discretos que poseen la dimensión mínima posible (del plano donde se ejecuta la representación).

DIVULGACIÓN. El presente artículo está incorporado al libro Idolatría en las matemáticas, descargable aquí, del mismo autor.

> «Números realistas» y figuras geométricas

UTILIZAMOS los números realistas para representar las figuras geométricas y comenzaremos por aquellas figuras que pueden representarse en un plano aceptando, como punto de partida, que un plano, cualquier plano, está constituido por un conjunto de elementos discretos (píxeles, moléculas, átomos, etc.). Fruto de analizar el plano con una capacidad de resolución espacial muy inferior a las dimensiones de sus elementos constitutivos, obtenemos la percepción de continuidad, ilusión óptica que no se corresponde con la estructura real del plano.

Reflexión capital para comprender que la Geometría Discreta, nótese, se corresponde con la sucesión de una serie de elementos discretos que se representan mediante números realistas. Y puesto que la herramienta básica para la representación de figuras geométricas es actualmente la pantalla electrónica, se considerará a ésta como el plano de referencia en la representación de las figuras. Pantalla que está dividida en píxeles, que son los elementos discretos con los que construimos las diferentes figuras geométricas.

1. El plano de representación

El ‘plano de representación’ (pantalla electrónica) está subdividido en píxeles sobre los cuales se establecen ejes de coordenadas tal como se indica en la FIGURA 1geo. Los ejes de coordenadas, a su vez, están constituidos por una fila y una columna de píxeles elegidas de
forma arbitraria. Cada píxel está referenciado mediante un número entero. Es una referencia relativa a la posición que ocupa el píxel en la fila o la columna correspondiente y el píxel común a ambos ejes, se referencia con el número ‘0’. A partir de este píxel, los que están hacia arriba y hacia la derecha se referencian con los números positivos, correlativamente, y los que están hacia abajo y hacia la izquierda, con los números negativos.

Apréciese que, mientras en la geometría convencional los números representan puntos sin dimensión, en esta geometría los números ‘representan’ a los elementos discretos, que tienen la dimensión mínima posible del plano donde se está haciendo la representación. Dedúzcase, entonces, que cada uno de estos elementos tiene superficie y volumen; no obstante, al trabajar en un plano (dos dimensiones), la tercera dimensión es constante y no es necesario considerarla.

FIGURA 1geo. Plano de representación (en píxeles)

A partir de la referencia de los píxeles de cada eje, por tanto, ya podemos referenciar el resto de los píxeles del plano. Cada pixel queda referenciado por un par de números enteros correspondientes al valor que haya en cada eje, con la intersección de la fila y columna que pasan por el píxel en cuestión. La referencia ‘19, 4’ se corresponde con el píxel marcado en negro en la figura anterior.

> Las líneas rectas

Una ‘línea’ es una secuencia de píxeles contiguos. Una línea recta es una secuencia de píxeles contiguos con una estructura de cambio regularmente constante. En la FIGURA 2geo se muestran varios ejemplos de líneas rectas.

FIGURA 2geo. Líneas rectas

• La representación matemática de una figura geométrica en el ‘plano’ se hace buscando una función que relacione todos los pares de coordenadasLa representación matemática de una figura geométrica en el plano se hace buscando una función que permita relacionar todos los pares de coordenadas de los píxeles que forman la figura correspondiente y comenzamos por las líneas rectas que pasan por el origen.

Consideremos una línea recta que, pasando por el origen de coordenadas, incrementa su valor en una unidad en la coordenada ‘Y’ por cada cuatro píxeles de la coordenada ‘X’.

Al dibujar una línea con las características descritas, observamos que hay más de una solución. Analizamos a continuación las cuatro soluciones que se reflejan en la FIGURA 3geo. Las cuatro líneas representadas en la figura citada cumplen las condiciones de ser rectas, pasar por el origen y tener la misma estructura de evolución. Además las cuatro pueden expresarse matemáticamente mediante la siguiente función dentro del ámbito de los números realistas:

(X)= (4) ⊗ (Y)

FIGURA 3geo. Rectas que pasan por el origen, con la misma pendiente

Como ya se indicó, anteriormente, una multiplicación de dos números realistas genera varias soluciones, dependiendo de cuál sea el sumando inicial que se elija. Cada una de las líneas que se han dibujado en las figuras anteriores se corresponde, correlativamente, con una de las siguientes soluciones de la función anterior:

(X) = (4) ⊗ (Y) = (0, 1, 2, 3) ⊕ (4 × Y)
(X) = (4) ⊗ (Y) = (-1, 0, 1, 2) ⊕ (4 × Y)
(X) = (4) ⊗ (Y) = (-2, -1, 0, 1) ⊕ (4 × Y)
(X) = (4) ⊗ (Y) = (-3, -2, -1, 0) ⊕ (4 × Y)

Hay que decir, sin embargo, que la citada función, además de las cuatro soluciones que acaban de especificarse, tiene las siguientes:

(X) = (4) ⊗ (Y) = (-1, 0, 1, 2, 3) ⊕ (4 × Y)
(X) = (4) ⊗ (Y) = (-2, -1, 0, 1, 2) ⊕ (4 × Y)
(X) = (4) ⊗ (Y) = (-3, -2, -1, 0, 1) ⊕ (4 × Y)
(X) = (4) ⊗ (Y) = (-2, -1, 0, 1, 2, 3) ⊕ (4 × Y)
(X) = (4) ⊗ (Y) = (-3, -2, -1, 0, 1, 2) ⊕ (4 × Y)
(X) = (4) ⊗ (Y) = (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3) ⊕ (4 × Y)

Se dibujan a continuación, ver GRÁFICO 4geo, las líneas correspondientes a la primera y a la última de las soluciones anteriores.

FIGURA 4geo. Líneas rectas reforzadas

• Líneas reforzadas en las que hay valores de la variable ‘X’ a los que les corresponden dos valores de la variable ‘Y’Las dos líneas anteriores pueden considerarse líneas reforzadas en las que hay valores de la variable ‘X’ a los que les corresponden dos valores de la variable ‘Y’ (siguen siendo líneas que cumplen las condiciones establecidas anteriormente). Todas las soluciones analizadas hasta ahora, cumplen la condición de que a todos los valores de la variable ‘X’ les corresponda, al menos, un valor de la variable ‘Y’. Sin embargo, la función usada para representar las rectas anteriores ofrece, además, soluciones en las que no a todos los valores de la variable ‘X’ les corresponde un valor de la variable ‘Y’.

Esta característica la ofrecen, entre otras, las siguientes soluciones (ver FIGURA 5geo):

(X) = (4) ⊗ (Y) = (0) ⊕ (4 × Y)
(X) = (4) ⊗ (Y) = (0, 1) ⊕ (4 × Y)

FIGURA 5geo. Líneas de puntos y rayas

Las líneas anteriores se corresponden con las denominadas líneas de puntos o de rayas y, si el objetivo fuera que el espacio entre puntos o rayas fuera superior, bastaría con transformar la variable del eje correspondiente mediante la multiplicación por una constante.

Como se ha visto, la ecuación (X) = (4) ⊗ (Y) proporciona varias soluciones y cada una de ellas tiene alguna característica que la diferencia del resto. Elegir una u otra es una decisión que dependerá de los objetivos del usuario.

Pero pueden combinarse, también, varias soluciones para obtener otras nuevas que agrupen las características de las soluciones individuales. A continuación analizamos cómo pueden agruparse varias soluciones para corregir el aliasing de una línea recta.

El aliasing es el efecto que se produce cuando la capacidad de resolución del ojo humano es superior a la resolución espacial de los píxeles con los que se dibuja la línea.

En este supuesto las líneas rectas se ven como lo que son, es decir, como escaleras. Sin embargo, si se incrementa la resolución del dibujo, el efecto escalera se difumina y las líneas rectas se ven con “apariencia” de continuidad.

Una forma de conseguir la apariencia de continuidad sin incrementar tanto la resolución del dibujo es compensando adecuadamente la intensidad de los píxeles. ¿Permiten, los números realistas, obtener dicha compensación de forma directa? La respuesta es afirmativa.

Volviendo a la recta que se está analizando, agrupemos las cuatro soluciones siguientes:

(X)= (4) ⊗ (Y) = (0, 1, 2, 3) ⊕ (4 × Y)
(X)= (4) ⊗ (Y) = (-1, 0, 1, 2) ⊕ (4 × Y)
(X)= (4) ⊗ (Y) = (-2, -1, 0, 1) ⊕ (4 × Y)
(X)= (4) ⊗ (Y) = (-3, -2, -1, 0) ⊕ (4 × Y)

(X)= (4) ⊗ (Y) = ((0, 1, 2, 3) +↓ (-1, 0, 1, 2) +↓
(-2, -1, 0, 1) +↓ (-3, -2, -1, 0)) ⊕ (4 × Y) =
(-3, -22, -13, 04, 13, 22, 3) ⊕ (4 × Y)

Como puede observarse, la agrupación de varias soluciones proporciona una solución cuyo sumando inicial es un número realista con valores de ponderación. Valores claves para • Correción parcial del efecto de aliasingponderar la intensidad luminosa de los píxeles correspondientes. Se corrige, parcialmente, el efecto del aliasing, se reducen las exigencias de resolución y se consigue mejorar el efecto de continuidad aparente de la línea. En la FIGURA 6geo, puede apreciarse el efecto producido sobre el aliasing utilizando este procedimiento:

FIGURA 6geo. Efecto aliasing

Analizamos ahora las líneas que tienen algún tipo de curvatura. Comenzaremos por las líneas cuya representación matemática incluye una variable con exponente ‘2’. En concreto analizaremos la siguiente función.

(X) = (Y)2

Teniendo en cuenta el análisis realizado para las operaciones con potencias, la función anterior ofrece varias soluciones. Una de esas soluciones se corresponde con la siguiente secuencia de operaciones:

(0)2 = (0) ⊕ (0 × 0) = (0)
(1)2 = (0, 1, 2, 3) ⊕ (1 × 1) = (1, 2, 3)
(2)2 = (0, 1, 2, 3, 4) ⊕ (2 × 2) = (4, 5, 6, 7, 8)
(3)2 = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) ⊕ (3 × 3) = (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
…………

En la FIGURA 7geo, se aprecia la representación gráfica (dos soluciones) de la función expuesta.

FIGURA 7geo. Soluciones de la función (X) = (Y)2

> La circunferencia

Un tipo de línea curva muy usada es la circunferencia. Se caracteriza por tener una curvatura constante. La función matemática que representa una circunferencia es la siguiente:

(R-1)2 = (X)2 + (Y)2

Conviene tener presente que, en el plano discreto, el centro de la circunferencia es un píxel que tiene dimensiones y es preciso restarle una unidad al radio en la ecuación de la circunferencia. Esa unidad es la que se corresponde con el píxel central. Para dibujar una circunferencia se van dando valores a una de las variables y mediante la función anterior se calcula el valor de la otra variable.

 Consideremos el caso en el que R = 5. Los valores de la variable Y para cada valor de la variable X en el primer cuadrante son los siguientes:

 No es necesario calcular los valores de los otros tres cuadrantes. Es mucho más sencillo obtenerlos por simetría.

FIGURA 8geo. Representación cuadrante con R=5

Consideremos el caso en el que R = 9. Los valores, en este caso, de la variable ‘Y’ para cada valor de la variable ‘X’, en el primer cuadrante, son los siguientes:

FIGURA 9geo. Representación cuadrante para R=9

• Se utiliza como ‘número realista’ de inicio, el que genera la mitad de los valores que hay por encima y por debajo del valor básico, sin utilizar superposiciónYa se ha dicho, insistentemente, que en el dominio de los números realistas existen soluciones múltiples, característica que permite elegir la solución que más convenga en cada caso. En los dos ejemplos que acaban de ponerse sobre la circunferencia, se ha elegido una solución que utiliza como número realista de inicio, el que genera la mitad de los valores que hay por encima y por debajo del valor básico, sin utilizar superposición. Y, de igual modo que en el caso de las líneas rectas, pueden combinarse varias soluciones para corregir el aliasing.

En el caso de la circunferencia, una solución de interés en algunas aplicaciones, es la que genera el menor número de píxeles posibles, quedando la circunferencia cerrada. Para conseguir esta solución se toma como número inicial el (0). Observando los ejemplos anteriores se comprueba que la circunferencia también tiene simetría dentro de cada cuadrante y no es necesario, asimismo, calcular la mitad de los píxeles de un cuadrante. El resto se obtienen directamente, tal como se muestra en el siguiente ejemplo, para una circunferencia de R = 9 (ver FIGURA 10geo). Los valores de las variables ‘X’ e ‘Y’ en el primer cuadrante son los siguientes:

FIGURA 10geo. Representación cuadrante para R=9, con menor número de píxeles

Para el caso de una circunferencia de R= 13, se obtienen los siguientes valores:

FIGURA 11geo. Representación de circunferencias correspondientes a R = 13, R = 10 y R = 7

Si la circunferencia es de R = 10, se obtiene:

Si la circunferencia es de R = 7, se obtiene:

> El área de un círculo

En el dominio discreto, el área de un círculo se puede calcular de forma consistente. Viene determinada por la suma de todos los píxeles que contiene. Dicha suma puede representarse mediante la siguiente expresión:

También se puede obtener una expresión, más sencilla que la anterior, para calcular el área de forma aproximada, mediante una expresión que utiliza el radio y un número realista, que cumple una función similar al número π de la matemática continua. Dicha expresión puede expresarse como sigue:

Área = (r-1)2 * NR + 1

Siendo NR un número realista que es preciso calcular. Conceptualmente no plantea ninguna dificultad. Basta con realizar varios miles o millones de pruebas para determinar si conviene tener uno general o es mejor varios, dependiendo de las dimensiones del radio.

> Bibliografía

1. R. Rucker, Infinity and the Mind (Princeton University Pres, 1982).
2. K. Popper, J.C. EcclesThe Self and its Brain: an argument for Interactionism (Springer-Verlag, Berlin, 1977).
3. G. Frege, The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Number (Northwestern University Press, 1996).
4. R. DescartesMeditations on First Philosophy. In which the existence of God and the immortality of the soul are demonstrated (1641).
5. Platón, The Republic (around 360 B.C.).
6. Group of Cognomatics at University of LeonSpainCognomatica (http://www.cognomatica.org).
7. B. Rich, C. ThomasSchaum’s outlines: Geometry (Mc Graw-Hill, ed. 4, 2009).
8. K. DevlinThe Language of Mathematics. Making the Invisible Visible (W. H. Freeman and Company, New York, 2000).
9. I. N. Bronshtein et al.Handbook of Mathematics (Springer, 2007).
10. H. H. HartzlerThe Meaning of Mathematics (Journal of the American Scientific Affiliation 1, 13-19 (1949).
11. A. DeañoIntroducción a la lógica formal (Alianza Editorial S.A., Madrid, 1999).
12. William ByersHow Mathematicians Think (Princeton University Press, 2007).

  1. ÁAÁ. Ángel Alonso Álvarez, catedrático de la Universidad de León, Ingeniería de Control y Sistemas, Escuela de Ingenierías. Es autor de ‘Idolatría en la Matemáticas‘ y mentor de un nuevo dominio, la Cognomática, e impulsor de las estrategias ‘c:c’.

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